第四部分 圣彼得堡悖论的故事
千赌一面
好消息是资金跌为0的概率为0。因为你永远不会破产,所以你总能够收复失地。
锯齿状的山峰也可能代表了人们心碎的景观。假设你发现自己处在图4-5中间靠右侧的顶峰,或许表示你收获了第一个100万美元。在这种特殊的情况之后,你可能会失去大部分收益。
这对于连续下注的理想化赌博活动是非常正确的。对于更加常见的离散型下注的情况(21点、赛马等)也近乎正确。类似的九*九*藏*书*网法则适用于任何比例,即1/n。资金跌至初始资金1/3的概率为1/3,跌至总资金1%的概率为1%。
图4-5 凯利准则映射
你或许会问图表中绘制的www.99lib.net是什么游戏或者投资。这并不是很重要。凯利赌博系统是所有赌博活动和投资活动相互转换的一种方式。假定任何一种赌博或投资机会,凯利赌博体系都会将其转化为资本增值最优化的赌博或者投资。当风险过高时,凯利赌博者为了降低风险只会投注总资金的一部分。如果一项投资或者交易没有彻底亏损的风险,凯利赌博者可能会利用杠杆获取最大收益。
假设图4-5是凯利准九九藏书则的一个映射。图4-5中表示的是凯利赌博者(交易者)对一种赌博活动连续下注后积累的财富值。横坐标表示时间(或赌注),纵坐标表示财富值。我省略了坐标单位。你可以想象这张图是印在橡皮筋上的,这样你可以随意拉伸时间和财富坐标轴。
凯利赌博的资金波动遵循一个简单的法则。在根据凯利准则进行无限次连续下注后,你的资金跌至初始金额一半的概率为1/2。
争论双方都认同凯利系九-九-藏-书-网统确实对想要获得最大化收益的投资者提出了挑战。这是另外一个可以直观化的观点。
坏消息是无论你变得多富有,都存在财富严重下跌的风险。1/n的法则适用于赌博的任何阶段。如果你将资金总额运行到100万美元,就好比你的起始资金为100万美元,那么在未来某个时间点损失50万美元的概率为50%。这种损失是所谓的暂时性的。无论你从哪方面考虑,凯利赌博者或投资者在大量时间里的财富值
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都是低于从前的。假设凯利赌博者能够在合理范围内尽可能多下注(可行的情况下可以利用杠杆),但不允许同时进行多样化押注,然后任何概率游戏或投资的财富路径都将看起来和这个图标非常接近。我指的并不是确切的波峰和波谷结构——当然,这些取决于随机事件——而是与整体呈指数上升趋势相关的这些波动的范围。这幅图可能会让你想起股票市场的图表。实际上,凯利赌徒的资金比道琼斯或者标准普尔指数的历史波动更大。