第七章 高次方程数值解法
第四节 增乘开方法
贾宪创造的增乘开方法，又称递增开方法，把开方技术推进到一个新的阶段。目前中学数学教科书中的综合除法的程序与此相类似。它主要用随乘随加代替一次使用贾宪三角的各廉。我们以开1336336的四次方(古代称为三乘方)为例说明之。
这是有文字记载的第一个开四次方程序，它比立成释锁法简便。这个开方如果不用随乘随加，便要利用贾宪三角第五层，计算4·3，6·32，4·33。同时，它的程序化比立成释锁法更强，只要作好第一步布位定位，掌握退位步数，那么以商自下而上递乘递加，每低一位而止，对任何次方都相同。开方次数愈高，商的位数愈多，数字愈大，就愈显得这种方法优越。后来在阿拉伯地区产生了同样的方法。而在欧洲，直到上世纪初才先后由鲁菲尼与霍纳创造出来，故称为鲁菲尼—霍纳法或霍纳法，比贾宪晚800余年。九-九-藏-书-网九九藏书
图30 朱世杰改进的贾宪三角
递增三乘开方法草曰：(1)置积为实。别置一算名曰下法于实末。常超三位，约实。〔一乘超一位，三乘超三位。万上定实。〕(2)上商得数〔三十〕；乘下法，生下廉〔三十〕；乘下廉，生上廉〔九百〕；乘上廉，生立方〔二万七千〕。命上商，除实〔余五十二万六千三百三十六〕。(3)作法：商第二位得数。以上商乘下法，入下廉〔共六十〕；乘下廉，入上廉〔共二千七百〕；乘上廉入方〔共一十万八千〕。(4)又乘下法入下廉〔共九十〕；乘下廉入上廉〔共五千四百〕。又乘下法入下廉〔共一百二十〕。(5)方一、上廉二、下廉三、下法四退〔方一十万八千，上廉五千四百，下廉一百二十，下法定一。〕。(6)又于上商之次续商置得数〔第二位：四〕。以乘下法入下廉〔一百二十四〕；乘下廉入上廉〔共五千八百九十六〕，乘上廉并为立方〔一十三万一千五百八十四〕。命上商，除实，尽，得三乘方一面之数［如三位立方，依第二位取用］。其计算草图应为：九-九-藏-书-网hｔtp://wwｗ.99lｉb•neｔhｔｔp://ｗwｗ•９９liｂ•nｅt
