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笛卡尔：以太之海运载着行星在巨大的旋涡中到处运动；原子并不（也不可能）存在，真空或虚空也是不存在的。

时常有人断言，牛顿把诸如开普勒、侧利略或明克等科学家们完全不同的思想或原理汇集在一起，并对它们进行了综合。然而，很难说牛顿富有革命性的科学就是这些思想的合成或组合，因为实际上，牛顿在其《原理》中把它们的荒谬不实之处披露了出来。"真"科学不可能只是荒谬不实的思想或原理的产物。牛顿在《原理》中展示的此类错误观点包括：

牛顿已经觉察到行星彼此之间存在着引力作用。在上面这段引文中他已经用明确的语言表达出了这种觉察："eorum omnium actiones in se invicem"（所有这些行星彼此之间的相互作用）。从这种彼此的重力吸引作用可以推知，在物理世界中，开普勒的三个定律并不都是正确的，它们只是在某种数学的构造物中才是正确的，在这种构造物中，对彼此的轨道不发生相互作用的质量，要么是一种数学的力心，要么就是一种固定的具有引力的物体。牛顿对数学王国（在这里，开普勒定律均为正确的定律）与物理王国（在这里，那些定律只是"假说"或近似值）所作的区分，是牛顿天体力学富有革命性的一个特征。

牛顿《原理》中的数学的本质常常被人误解。如果只是泛泛地一页一项翻着，那就会给人一种印象，即牛顿所使用的数学是几何学尤其是古希腊的几何学。其风格似乎是欧几里德式或阿波罗尼奥斯式的。然而，更仔细地考虑一下就会发现，牛顿是在用微积分阐述问题，他运用几何学方法根据不同的比率和比例来陈述各种关系，并且同时，把"极限"看作是一种等于零的（或是初始的）基本量。因此，尽管牛顿没有详述他以后系统地运用的微积分（或"流数"）的规则系统，但他的确大量地运用了极限方法，这显然等价于使用了微积分，或者说，所使用的极限方法可以很容易地转换成牛顿算法或莱布尼兹算法的符号体系。马奎斯·德·洛皮塔尔认识到了《原理》的这一方面，他注意到（正如牛顿得意地提到的那样），这部书中的数学几乎全是微积分。对于任何一位细心的读者来讲，在该书第一编第一节对极限理论的阐述中，在第二编第二节明确的流数（牛顿用来表示微分的术语）理论中，这一点表现得更为明显。此外，《原理》之著名还因为，它最早使用了一些其他的数学方法，例如，无穷级数的广泛应用。

《原理》的第三篇讨论了宇宙系统，不过，它比以前的那本小册子更富有数学色彩。在这里，牛顿用了基本上相同的方式讨论了引力问题。首先，在所谓的月球试验中，他把重力或地球引力扩大到月球，并且证明这种力的大小与距离的平方成反比。进而他认为，这种地球引力与太阳对行星的作用力、与一个行星对其卫星的作用力是相同的。现在，他把所有这些力统统称之为重力。借助第三运动定律，他把作用于行星之上的太阳力的概念改造成了太阳与行星之间的相互作用力的概念。与此类似，他把行星作用于卫星上的力的概念，改造成了行星与其卫星之间的相互作用力的概念。最后，这种改革导致了这样一种观点，即所有物体都以引力的方式相互作用。

胡克：作用于一个（具有惯性运动分量的）物体上、遵循平方反比律的同心力，导致了这样一种轨道运动，即其速度与其到力的中心的距离成反比：这一运动定律与开普勒的面积定律是一致的。

虽然牛顿有时也认为，万有引力也许是由以太粒子流碰撞某一物体产生的脉冲引起的，也许是由某种到处弥漫的以太的变化引起的，但这两种看法他在《原理》中均未提及，这是因为，如他最终所指出的那样，他从"不会杜撰假说"来作为物理学的解释。牛顿的风格导致了他的数学的万有引力概念，而且，这种风格致使他把自己的数学结论用于物理世界，尽管这并非是他能够相信的那种力。

在克雷洛的著作中也可以看到类似的对牛顿风格的确认。克雷洛解释说，"牛顿先生……讲得很明确，即他使用引力这个词时，仅仅是在期待着其原因的发现；事实上，根据有关自然哲学的数学原理的专题论文很容易得出这样的判断：它的唯一目的就是要确立引力是一种事实"（克雷洛1749，330）。

开普勒：三大行星定律对行星运动的"真实"描述；作用在那些天体上的太阳力随着距离的增加而减弱，而且只是在接近黄道平面处发挥作用。太阳肯定是一个巨大的磁铁；任一运动的物体由于其"固有的惰性"，一旦动力不再发挥作用，它就会停止运动。

伽利略：落向地面的物体的加速度在整个过程中保持不变，即使离开地球落向月球的物体亦是如此；月球对海洋的潮汐运动不可能有任何影响（或成为其原因）。

有许多文献都可以证明科学中的牛顿革命。18世纪的科学史家让·西尔万·巴伊写道，"牛顿推翻或改变了所有思想"：他的"哲学导致了一场革命。"巴伊并不仅仅满足于去笼统地说明科学中的牛顿革命。他注意到，牛顿揭示天体奥秘的钥匙就是数学：几何学。巴伊指出："被假定为致使物体运动的东西，确实在使物体运动；对此，有充分的证明。唯有牛顿的数学（几何学）推测到了自然的秘密。"

我们还可以进一步看到，牛顿否定了"离心"力的存在，而这种离心力恰恰是惠更斯运动物理学发展的基础。牛顿用"九九藏书网;向心"力这个概念取代了它们，牛顿之所以选用这个名称，是因为它与惠更斯的"viscentrifugs（离心力）"有些相似——尽管意义不同且所指方向相反。

18世纪的重农主义者们充分地表述厂对以普遍规律为依据的牛顿式"自然法则"的信仰。按照重农主义者的观点，"根据不可改变的、不可避免的和必然发生的观律，并且以永恒的必然的联系方式"，所有"社会中的事实都连在了一起"（安德烈·纪德和夏尔·里斯特1947，2）"一旦他们认识到了这些规律"，无论是个人还是管理机构就会遵守这些规律。重农主义者不仅相信，人类社会是"受自然规律制约的，"而且还认为，存在着一些"控制着物理世界、动物社会、甚车每一种有机体内部生活的同样的规律"（p．8）。启蒙运动时男人和妇女们抛弃了传统的人类关系和人类社会秩序的概念，他们希望有自己的牛顿，他——他们肯定地说——"即将出现。"这种"社会科学界的牛顿，"按照克兰·布林顿（C．布林顿1950，382）的观点，人概会创造出一种新的"社会科学系统，人们只有遵循〔它们〕才能确保有——不是已成为过去的而是即将在未来出现的——真正的黄金时代，真正的伊甸园。1748年孟德斯鸠出版了《论法的精神》，在这部书中，他把一个运转良好的君主政体与"宇宙系统"作了比较，在宇宙系统中存在着"一种吸引力"，它能够"吸引"所有物体趋向"中心"，孟德斯鸠以《原理》为榜样，"确立了……第一原理"，并且发现广这些原理中自然而然地产生的一些特例。

也许，在所有这些成就中，最伟大的就是对潮汐的解释，即潮汐是太阳和月亮的引力对海洋的吸引作用导致的。"海洋中的潮涨潮落"，牛顿断言（bk．3，prop．24），"源于太阳和月亮的作用。"他分析了岁差和月球对地球假定的赤道鼓起区不平衡的吸引作用，以此为基础，他预言，地球的形状呈扇圆形；从这里我们可以看出牛顿所取得的成就的重要意义。

ktkt像月球的运动一样，对于每个行星而言，它有多少种运动就有多少种轨道，每一个轨道都取决于所有这些行星的合成运动，所有这些行星彼此之间的相互作用就更不用说了……要考虑如此众多的运动的原因，并用（容许简便计算的）精确的定律来确定这些运动，这，如果我没说错的话，已经超出了全人类知识界的能力范围。

巴伊本人愿意承认万有引力的概念和原理，因为借助万有引力，如此众多的现象都可以得到解释：许许多多的观察数据和经验规律都可以通过数学从万有引力的属性中推导出来（sec．41，pp．555f．）。不过他发觉，开始，许多（法国著名的）科学家把牛顿体系划分为数学哲学和纯自然哲学。因而对于P．L．M．德·莫佩尔蒂——（按照巴伊的看法）他"似乎是……我们数学中首先使用引力原理的人，"巴伊［vol．3（"discourspremier"）：7]不得个指出，"开始，他只是从其可计算结果方面来考虑引力原理；他是从数学家的角度而不是从物理学家的角度承认万有引力的。"也就是说，莫佩尔蒂同意牛顿的数学系统和构造物（我们的第一阶段和第二阶段），但并不承认牛顿在其宇宙体系中（第三阶段）肯定是在讨论实在问题。

牛顿的《原理》在许多方面都堪称杰作。它包含了纯数学最初的一些成果（极限理论和圆锥截面几何学），它发展了动力学的主要概念（质量、动量、力），它整理和编纂了动力学的诸项原理（运动三定律），它还说明了开普勒行星运动的三大定律的动力学意义及伽利略以下实验结论的动力学意义：重量不同的物体（在地球的同一位置）自由下落时有着相同的加速度和相同的速度。它阐述了曲线运动定律、对摆的运动的分析以及表面约束运动的本质，它还说明了怎样处理连续变化的力场中粒子的运动问题。牛顿还指出了分析波的运动的方法，并探讨了物体在各种具有阻力的媒介中运动的方式。书的最后一部分亦即第三篇，可谓是全书的顶峰，在这里，他揭示了受万有引力、以及一种广义力的作用（其中一个特别的现象就是众所周知的地球的重量）制约的牛顿的宇宙体系。牛顿在这部分讨论了行星及其卫星的轨道的长度，彗星的运动和运动轨道，以及海洋中潮汐现象的产生等。

1684年12月，牛顿完成了《论运动》的修订稿，在这里，他在一个相互作用的多物体系统范围内，对行星的运动进行了描述。与以前的小册子不同，这一修订本得出了这样的结论："行星既非完全在椭圆形轨道中运动，也不会在同一轨道中出现两次。"这一结论导致牛顿得出了以下结果：

把牛顿的《哲学原理》（他常常用这个名称来指他的著作）与笛卡尔的《哲学原理》加以比较和对照，就会看出牛顿革命的本质。具有批评眼光的读者会发现，笛卡尔《原理》的一个异常之处就是，它避开数学，而热中于进行哲学、物理学（或自然哲学）的哲学的研究。在这本书的四个部分中，只有两个部分专门讨论物理学和宇宙的涡旋体系的发展。笛卡尔确实在这里提出了碰撞的数量规则，但我们已经知道，在每一个例子中这些规则都是错的。笛卡尔把这些规则作为一个子集纳入了他的第三自然定律之中。不过，当沃利斯在《皇家学会哲学学报》发ｈtｔｐ://ｗｗw.9９ｌiｂ•ｎet表正确的规则时，它们有了一个更为严格也更为准确的称谓："运动定律"。牛顿在其《哲学原理》一开始，就提出了一组定义，随后是一些"运动的公理或运动定律"，其中前两条与笛卡尔的自然定律的前两条大致相当。牛顿似乎把笛卡尔的"regulae quaedam sive leges naturae "（"数量规则或自然法则"）转变成了他的"axiomata sive leges molus"（"运动公理或运动法则"）。牛顿的运动三定律和他所归纳的理论力学的公理为：（1）惯性原理：任一物体都将继续保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于其上；（2）力与其动力效应之间的关系，即一次推动（或相继产生）的外力会使物体的动量沿外力作用的方向发生变化（对相继产生的力而言，是指某一单位时间内的变化）；（3）作用力和反作用力相等。

尽管拉普拉斯的哲学见解有了转变，如他1814年出版的《概率哲学导论》中明显地表现出的那样，但他并未感到有什么必要——在原理发表一个世纪以后——去讨论引力穿越空间延伸其作用这一点是否是合理的。在《天体力学》的第二"卷"《论万有引力定律和天体引力中心的运动》中，其首章即为《论从观察中演绎出的万有引力定律》。他写道（1829，I：249），我们受到"诱惑"，"把太阳的中心看作是这样一种引力的中心，这种引力可以在各个方向上无限地延伸，其大小按距离的平方反比率而变化。"由于完全不会为使用牛顿的"引力"这个词感到难堪，而且在普遍地甚或超出牛顿的范围之外进行思考时也不再会因这个词哲学上的暗示而感到反感，拉普拉斯简单明了地得出结论说："太阳以及有自己卫星的那些行星，都具有一种吸引作用，这种引力在无限地延伸，力的大小与所延伸距离的平方成反比，所有物体在其活动范围内都是如此"（P．255）。此外，"通过类比使我得出这样的推论，即在所有的行星和彗星中普遍地存在着一种类似的力。"他十分明确地得出结论说，"人们所观察到的作用于地球上的引力，是一条扩展到整个宇宙的普遍定律的一个特例"，这种"引力"并"不完全与总的质量有关"，它对于"组成物的每一个粒子都是相同的"（p．258）。他欢呼说，牛顿的"万有引力"是一条"伟大的自然原理"，"物质的所有粒子相互吸引，这种作用与质量成正比，而与它们彼此的距离的平方成反比"（p．259）。

我所描述的过程，并非只是20世纪人们（对牛顿在《原理》中提出问题的方式）的一种事后分析。它与有文献为证的牛顿思想的各个发展阶段是相符的。1684年秋，牛顿写了一本小册子（《论运动》），在其中，他介绍了他研究开普勒定律以及有关这个问题其他方面的一些成果。他在书中指出，向心力是面积定律成立的必要充分条件，椭圆形轨道则暗示着，这种力与距离的平方成反比，这与他后来在《原理》中所作的阐述十分相似。但是那时尚未认识到，他的证明仅仅适用于单一物体系统的精神构造物，所以他骄傲地写道："附注：因此，沿椭圆形轨道运行的诸行星都有一个位于太阳中心的焦点，而且以以行星间太阳的距离为半径扫过的面积，是与时间成正比的，这完全像开普勒假设的那样。"不久牛顿就认识到，实际上，行星不可能沿单纯的开普勒椭圆轨道运动。他看出，他的结果只适用于人工构造的单一物体系统，在这个系统中，地球被简化为一个质点，而太阳被简化成一个固定的力心。

在数学结构和对实在世界的比拟之间、以及第一阶段和第二阶段之间的这种对位式的变换中，牛顿不仅从单一物体系统发展到了多物体系统，而且发展到了沿轨道运行且带有卫星的多物体系统，例如，地球的卫星是月球，土星和木星也都有各自的卫星。到此为止他一直讨论的都是质点，而不是有形的物体，因为他还没有开始考虑大小和形状，不过最终，他把讨论的层次从质点转到了具有一定尺寸和外形的物理实体之上。

在我看来，从我所谓的"牛顿的风格"中，可以发现牛顿科学革命的本质。从牛顿在《原理》中对开普勒诸定律的讨论，就可以很容易地看到这一点。牛顿的讨论，始于一种纯数学的结构或想象的系统——它并不只是一个简化了的自然事件，而是一种在实在的世界中根本不存在的纯属虚构的系统。在这里，"实在的"这个词所指的，只是由实验和观察揭示出来的外在世界。在这种系统中，单一的质点围绕着一个力心运动。牛顿用数学方法指出（bk．1，prop．1），只要在这一结构或系统中能有一种来自沿轨道运行的质点或粒子的力恒久地指向不动的力心，那么开普勒的面积定律（即他的第二定律）就可成立。他接下来证明其逆命题，即如果面积定律成立，那么就会有一种向心力或指向中心的力存在。因此，向心力的存在被证明，既是开普勒面积定律成立的必要条件又是其充分条件。随后牛顿指出，如果运动轨道呈椭圆形，那么，向心力必然与距中心的距离的平方成反比。最后他证明，如果在此种力的条件下存在着几个沿轨道运行的质点，它们彼此没有相互作用——或者（结果相同）如果把任一给定质点的运动与其在距中心的某一不同距离上的运动九九藏书相比较——那么，开普勒第三定律或和谐定律就可成立。顺便提一句，我们也许注意到，牛顿在这里首次指明了开普勒第三条定律中每一条的动力学意义。牛顿的活动在很大程度上构成了纯数学的第一个阶段。

牛顿革命的确认

到了18世纪末，万有引力概念渐渐地被人们普遍承认了。在其伟大著作《天体力学》（1799－1825年出版）的前言中，拉普拉斯——这一学科中的第二个牛顿——一开始就谈道（1829，p.xxiii）：

这一原理的成功和万有引力的应用，或者爱因斯坦以前的所谓"经典"力学（或牛顿力学）的应用，使这一学科成了所有科学的典范或理想。例如，19世纪中叶和19世纪末大部分关于达尔文革命的争论，都是以方法为中心，而且往往集中在达尔文是坚持还是放弃了牛顿方法这一问题上。在诸如古生物学和生物化学等若干领域中的科学家们，想象有一天他们各自的科学领域中也会有自己的牛顿，而且他们的科学也会达到牛顿的《原理》那样完备的程度。乔治·居维叶在1812年问道，为什么"自然史界不会有朝一日出现它自己的牛顿呢？"在1930年左右，奥托·瓦尔堡叹惜说，化学界中的牛顿（J.H．范托夫和威廉F．奥斯特瓦尔德在1887年都曾谈到过化学界需要这样的人物）"还没有出现"（参见科恩1980，294）。

巴伊很有洞察力，他发现，"数学解释的优势在于，它们有着普遍性。"如果行星按开普勒定律运动，那么，它们肯定是"由存在于太阳中的某种力推动的"，这一论点仅仅取决于数学或几何学方面的原因和一般的运动原理。在牛顿的论证中，没有涉及太阳的什么具体的物理属性，与此不同的是，开普勒在其论证中借助了一些具体的属性，如太阳的磁作用力和太阳的磁极作用。此外，相同的数学论证表明，对也遵循同样的开普勒定律的木星和土星而言，它们的卫星也必然同样是"由存在于这两个行星中的力推动的。"换句话说，木星和土星与它们各自的卫星系统的关系，恰如太阳与其行星系统的关系，唯一不同的地方在于所控制的范围和作用的大小。地球与我们的月球的关系也同样是如此（巴伊1785，VOl．2，bk·12，see．9，pp．486f．）。

在第二个阶段，牛顿把他的精神构造物与实在的世界进行了比较。当然他立刻发现，在实在的世界中（例如，在我们的太阳系中），沿轨道运行的物体，并不是围绕着"数学的"力心运动，而是围绕着别的实在物体运动。月球围绕着地球运动而地球和其他行星围绕着太阳运动。此外，为了使其精神构造物或想象系统能与实在的世界更为谐调一致，牛顿改进了这一系统，使其质点数增加到两个。其中一个质点位于中心，并且吸引着另一个在轨道上运动的质点，它不断地把后者从其所在的另一条直线惯性运动的轨道上拉开。但是，按照任一作用都有一个大小相等方向相反的反作用这一原理（牛顿第三运动定律），就会得出这样的推论：如果位于中心的物体吸引着沿轨道运行的物体，那么，在轨道上运行的物体也必定吸引着位于中心的物体。这样，这种精神构造物扩展到有两个相互作用的物体的系统了。牛顿继续指出，在这类条件下，情况不再是在轨道上运行的物体沿着一个纯椭圆形的轨道围绕位于焦点的中心物体运动了。相反，他发现，这二者都是沿椭圆形轨道围绕着它们共同的引力中心运动。

牛顿的风格

接近17世纪末时，牛顿把他的万有引力的发现公布于众。从这时起，数学家们已经成功地把所有已知的宇宙系统中的现象归之于这一伟大的自然定律，并且因此使有关天体的理论和天文图表达到了意想不到的精确程度。我的目的是要从散见于大量著作中的这些理论里提出一种连贯的思想。液体及固体的平衡和运动，组成了太阳系以及存在于无限空间中的类似的系统，由此看来，引力所导致的所有结果，也就构成了天体力学的研究对象，或者使力学原理应用到研究天体的运动和外形上了。从最一般的意义上看，天文学是力学的一个重大问题，在这里，运动的元素是任意的常量。这种问题的解决，同时取决于观察的精确程度和分析的完善程度。

牛顿的数学革命分为两个方面：微积分的发明（他与莱布尼兹共享此荣），以及数学在物理学和天文学中的应用。正是这后一方面导致了（相对于其数学革命而言的）科学中的牛顿革命。当然，在牛顿的前辈中，也曾有过一些伟大的人物探索过用数学原理来陈述自然哲学，如西蒙·斯蒂文，伽利略，开普勒，沃利斯，胡克，惠更斯等。从这个意义上讲，牛顿革命是（可以追溯到科学革命之初的储多学者所创造出的成果的顶峰，而不是牛顿的某种全新的创造、把牛顿的《原理》与开普勒的《新天文学》、伽利略的《两种新科学》、沃利斯的《力学》、胡克有关运动问题的论述、或惠更斯（有关摆钟的论文里）关于匀加速运动的论述等作最简单的比较就可以看出，在深度、范围和技巧几个等级方面，存在着某种不同。正是由于总体规模的猛增，牛顿的《原理》成了"物理学革命"的"新纪元"［正如克雷洛（1714）所说的那样〕。

在以前所写而后来又成了《原理》第三篇的一本小册子中，牛顿说明了：对第三运动定律的思考怎样导致了关于太阳与每个行星之间、行星与其卫星之间、以及两个行星彼此之间存在着一种相互作用的力的概念。同样的思考导致了一种富有革命性的新的思想，即宇宙中的一些物体肯定都在"彼此吸引。"他自豪地陈述了这一结论，并作了解释性说明，他指出，在地球上的任何一对物体中，引力的量是如此之小，以致于难以观察到。"也许，"他写道，"只有在巨大的行星体上才能观察到这些力。"在所有行星中，木星和土星的质量是最大的，所以，他对它们运动过程中轨道的摄动进行了探索。在约翰·弗拉姆斯蒂德的帮助下，牛顿发现，当两个行星相距很近时，土星的轨道运动的确会出现摄动。

与牛顿同时代的一些人对远距离的引力观念极为困惑，以致于他们无法着手探讨其性质，而且他们发现，很难接受牛顿物理学。牛顿说，他已经没有能力解释万有引力是怎样发生作用的，但"这种引力确实存在而且足以解释天体现象和潮汐现象，这就够了。"对此，与他同时代的某些人难以苟同。那些承认牛顿的风格使万有引力定律有一种真实感的人，说明了该定律怎么能解释如此众多的现象，并且寻找一种解释来说明，这种力是怎样超越遥远的距离在空虚的太空中延伸的。牛顿的风格使得牛顿可以从事万有引力的研究而不会因时机不成熟受到约束（这种约束有可能会妨碍他的伟大发现）。18世纪的生物学家G．L．L．德·布丰曾写道，一个人的风格与他本人是分不开的。就牛顿来讲，他的伟大发现是不可能与其风格相脱离的。

牛顿及其同时代的约翰·洛克，是伟大的新思想的代表人物，这些新思想构成了那些"著名的信念和思想习惯中的革命"（兰德尔1940，253），它标志着，随着启蒙运动的发展，现代社会正在出现。今天，在思考这一长达三个世纪之久的影响时，我们也许会发现，很难理解：牛顿实际成就是在创建自然之数学理论方面，但他的成果竟然产生了如此空前的影响。哈雷曾作出过一个牛顿式的预言——1758年（哈雷和牛顿去世以后很久）将会有一颗彗星出现，当这一预言被证实时，恐怕唯有"不同寻常的"、"非凡的"、"令人惊异的"这类形容词才能表达科学家和非科学工作者们内心之中的敬畏之情。无论在哪里，无论是男人还是妇女都发现了这样一种指望，即在所有人类知识和所有人类事物的管理中都会产生出一种类似的合理的演绎和数学推理系统，一种与实验和批判性观察联系在一起的系统。18世纪"显著地"成了一个"信仰科学的时代"（兰德尔1940，276）；牛顿是成功科学的象征，是哲学、心理学、政治学以及社会科学等等所有思想的典范。

牛顿革命不同于我们业已考察过的那些（确实发生了或据说发生了的）科学革命和数学革命，在其一生当中，牛顿一直被认为引起了一场革命。在其《自然哲学的数学原理》中，牛顿导致了微积分革命和力学科学的革命，因此，他受到了与他同时代人的赞赏。牛顿在历史上独领风骚，他是一位非凡的人物，因为他在诸多不同领域中做出了如此之多十分重要的贡献如：纯数学和应用数学；光学、及光和颜色的理论；科学仪器的设计；力学理论的整理和编纂以及这一学科基本概念的系统阐述；物理学的主要概念（质量）的发明；新的科学方法论的系统的论述等等。他还对热、对化学和物质理论、对炼丹术、年代学以及基督教《圣经》的解释和其他一些问题进行了研究。

这种双物体系统构成了一个得到了改进的阶段，在此阶段，牛顿又一次用数学方法阐述了他的（现已修正了的）精神构造物。他随后把这个改进了的系统与外在的世界进行了比较，这就是改进了的第二阶段。当然，他发现，这个系统还是与我们周围的实在世界不相符的。例如，在我们的太阳系中，围绕太阳运动的行星并非只有一个，而是有好几个。这样，为了使他的精神构造物更进一步符合外在的世界系统，牛顿又继续开始了另一个阶段的工作。他在系统中引入了不止一个而是两个或更多的质点，它们在围绕中心质点的轨道上运行。这样，运用牛顿的第三定律，又一次得出以下推论：沿轨道运行的每一个质点，既受到中心物体的吸引，也对它有着吸引作用。换句话说结论就是，沿轨道运行的每一个质点，既是一个可被吸引的物体，也是一个具有吸引力的中心。在这些沿轨道运行的物体中，任何一个物体都会对其他的每一个发生作用，同时也会受到它们各自作用的影响。这个系统包含了这样一些物体：它们彼此以摄动的方式相互作用，这些摄动导致了与开普勒定律的一种细微的偏离。于是，牛顿继续努力，以图在我们的太阳系中找出与开普勒定律相差的数量测度。

牛顿还把笛卡尔的标题"Principia Philosophiae 〔哲学原理）”改成了“PhilosoPhiae naturalis principia mathematica（自然哲学的数学原理）"，他因此夸耀说，在使原理数学化的过程中，他创立了一门非同一般哲学的自然哲学。牛顿《原理》的数学化特点不仅表现在对这些原理的阐述上，而且还表现在对命题的证明和应用上；它还阐明了一种在自然哲学中使用数学的重要的新的时尚。

在可以应用理性原则的思想和活动的几乎每一个可能的层次上，都留下了牛顿革命的重大影响。即使到了今天，在牛顿的时间、空间和质量概念甚至牛顿的引力原理已被爱因斯坦的体系九九藏书取代了的情况下，牛顿科学仍然在许许多多科学的和日常经验的领域中占据着至高无上的地位。这些领域包括日常生活经验的领域和我们常用的机械（"原子能"装置除外）的领域。本世纪最为壮观的活动——对空间的探索——并不是爱因斯坦相对论的一个例证，它只是经典的引力物理学的直接应用的一个实例。经典的引力物理学是由牛顿在其《原理》中完成的，经过两个多世纪牛顿信徒们的努力，它发展成了理论力学这样一门科学，而且成了大体力学的核心。牛顿革命不仅仅是这场科学革命的顶峰，而且一直是人类思想史中具有最深远意义的革命之一。

万有引力定律说明了行星的运动近似地遵循开普勒定律的原因，并说明了为什么它们各自又以不同的方式与这些定律有偏离。正是万有引力定律证明了，为什么（在没有摩擦力的情况下）所有物体在地球上的任一指定位置下落时的速度都相等，以及为什么这一速度会随着高度和纬度而变化。万有引力定律还解释了月球的规则运动和不规则运动，为理解和预测潮汐运动提供了物理学基础，它还说明了早就被观察到但没有得到解释的地球的岁差率与月球对地球赤道鼓起区的吸引作用之间有着怎样的关系。由于数学引力能够成功地解释和预见所观察到的宇宙现象，牛顿断言，肯定"真的存在着"这么一种力，尽管那种被人们普遍承认而且他本人也信奉的哲学并不允许也不可能允许这种力成为自然系统的一个组成部分。所以，他提倡要对万有引力怎样产生作用进行探讨。

请不要把我对牛顿思想发展过程的分析，看作是想贬低他那种非凡的富有创造力的天赋所起的作用；恰恰相反，我认为应当承认这种天赋。我的分析说明了牛顿对物理学具有丰富创造力的思维方式，通过种种方式，他按照实验和批判性观察所揭示的情况用数学对外在的世界进行了描述。由于他并不认为这种构造物就是对物理世界精确的表述，所以，他可以无拘无束地去探讨数学引力的属性和作用，尽管他发现，"远距离发挥作用的"控制力在真正的物理学王国中既是不相容的也是不允许的。随后，他把他的数学构造物的推论与那些通过观察得到的有关外在世界的原理和定律如开普勒的面积定律和椭圆轨道定律进行了比较。这种数学构造物哪里有不足，牛顿就对哪里加以改进。这种思维方式，亦即我所说的牛顿风格，因其伟大著作的标题"自然哲学的数学原理"而引起了人们的注意。

事实上，在题为《论引力定律》（173）的论文中，莫佩尔蒂在这一点上十分明确。他写道："我根本不考虑引力与正确的哲学是相符还是相悖。"相反，"在这里，我只是从一个数学家［几何学家］的角度来讨论引力问题。"莫佩尔蒂只是把引力看成是"一种量，因为它在物体的各个部分都是均匀分布的，且其作用是与质量成比例的，所以，无论它可能是多少，根据它就可以预测许多现象了。"换句话说，莫佩尔蒂承认牛顿的风格，并且愿意作为"几何学家法探索万有引力定律的数学结果。既然结果与自然界中所观察到的现象一致，那么，莫佩尔蒂从自然哲学家的角度问他自己，是否存在着这么一种确系物理实在的力，或者，是否有什么别的理由可以说明，为什么物体仿佛是在这么一种力的情况下活动？如果确实存在着这么一种力，它必然有其存在的原因；我们也许可以注意到，他的思想是深深地嵌在机械论哲学之中的，以致于他把自己局限在这种引力作用的两种质料因中：某种源于具有引力作用的物体的原因，或物体以外的某种物质运动造成的原因。

牛顿革命也成了意识形态的一个重大的组成部分，唯一可与之相提并论的则是另一届科学革命，即达尔文革命。艾塞亚.伯林（1980，144）对牛顿的影响作了总结：

不妨考虑一下月球运动明显的不规则问题，《原理》对这个问题的探讨是该书的思想具有新水平的一个实例。在过去的一千五百年间，天文学家们在处理月球运动问题时，总是在构造几何图式，而不考虑原因。而现在，牛顿指出，摄动现象是"月行差"的主要根源，而这种摄动则是太阳引力和地球引力对月球的作用的主要结果。随着1687年《原理》的出版，人们就有可能从第一原理或第一原因开始，通过对结果的研究来处理这一问题。正如《原理》第二版的评论者们注意到的那样，这是一种全新的处理这类问题的方法。

从《原理》所表现出的致力于惯性物理学的研究这一点，一些分析家们可能会看出此书的伟大所在；对于牛顿来讲，惯性是质量的一种特性。牛顿是第一位明确区分质量与重量的作者，而且他进一步认识到，物体的质量具有两种各自独立彼此不同的方面。质量是物体阻止被加速或阻止使其运动状态或静止状态发生变化的一种量度；这就是它的惯性。（牛顿有时使用"惯性力"或"visinertiae"这样的术语-一这种类型的力有别于那种"活动的功或能产生加速作用的力。）不过，物体的质量同时也可以作为对给定的引力场的一种反应的量度。那么，在物体对加速作用的（惯性的）阻力与其对某一引力场的（引力的）反应之间为什么又会有着某种联系呢？这在经典物理学中是找不到答案的。牛顿独具慧眼，他认识到，对这种关系的了解必须以实验为依据，所以，他着手进行实验以证明惯性与重力之间的这种恒定的关系。然而，只有在爱因斯坦的相对论中才能看到"惯性"质量与"引力"质量等价的逻辑必然性。爱因斯坦极为佩服牛顿，因为牛顿对这个问题有了如此深刻的见识，而且认识到了，他解释这种等价关系的理由只能以实验为依据。